Question:
If the first term of an AP is 2 and the sum of the first five terms is equal to one-fourth of the sum of the next five terms, then what is the sum of the first ten terms?
यदि किसी समांतर श्रेढ़ी (AP) का प्रथम पद 2 है और प्रथम पाँच पदों का योग अगले पाँच पदों के योग के एक-चौथाई के बराबर है, तो प्रथम दस पदों का योग क्या है?
Options:
- 250
- -500
- 500
- -250
- 250
- -500
- 500
- -250
Correct Answer: d)
Explanation:
Given first term \(a = 2\). Let common difference be \(d\).
Sum of first 5 terms: \(S_5 = \dfrac{5}{2}[2(2) + 4d] = 10 + 10d\).
Sum of next 5 terms: \(S_{10} – S_5 = 4 S_5 \implies S_{10} = 5 S_5\).
\(S_{10} = \dfrac{10}{2}[2(2) + 9d] = 5(4 + 9d) = 20 + 45d\).
\(20 + 45d = 5(10 + 10d) = 50 + 50d \implies 5d = -30 \implies d = -6\).
\(S_{10} = 20 + 45(-6) = 20 – 270 = -250\).
प्रथम पद \(a = 2\) दिया है। माना सार्व अंतर \(d\) है।
प्रथम 5 पदों का योग \(S_5 = \dfrac{5}{2}[4 + 4d] = 10 + 10d\)।
प्रश्नानुसार: \(S_5 = \dfrac{1}{4}(S_{10} – S_5) \implies S_{10} = 5 S_5\)।
\(S_{10} = 5(4 + 9d) = 20 + 45d\)।
\(20 + 45d = 50 + 50d \implies 5d = -30 \implies d = -6\)।
अतः प्रथम दस पदों का योग \(S_{10} = 20 + 45(-6) = -250\)।