Question:
The system of equations \(kx + y + z = 1\), \(x + ky + z = k\), and \(x + y + kz = k^2\) has no solution if \(k\) equals:
समीकरण निकाय \(kx + y + z = 1\), \(x + ky + z = k\), और \(x + y + kz = k^2\) का कोई हल नहीं है यदि \(k\) का मान है:
Options:
- 0
- 1
- -1
- -2
- 0
- 1
- -1
- -2
Correct Answer: d)
Explanation:
The coefficient determinant of the system is:
\[\Delta = \begin{vmatrix} k & 1 & 1 \\ 1 & k & 1 \\ 1 & 1 & k \end{vmatrix} = (k + 2)(k – 1)^2\]
For a system to have no solution, we must have \(\Delta = 0\), which gives \(k = 1\) or \(k = -2\).
– If \(k = 1\), all three equations become \(x + y + z = 1\), which has infinitely many solutions.
– If \(k = -2\), adding all three equations gives:
\[(k+2)x + (k+2)y + (k+2)z = 1 + k + k^2 \implies 0 = 1 – 2 + 4 = 3\]
which is inconsistent and impossible.
Therefore, the system has no solution when \(k = -2\).
Hence, the correct option is (d).
गुणांक सारणिक \(\Delta\) का मान:
\[\Delta = \begin{vmatrix} k & 1 & 1 \\ 1 & k & 1 \\ 1 & 1 & k \end{vmatrix} = (k + 2)(k – 1)^2\]
निकाय का कोई हल न होने के लिए \(\Delta = 0\) होना आवश्यक है, जिससे \(k = 1\) या \(k = -2\) प्राप्त होता है।
– यदि \(k = 1\) हो, तो तीनों समीकरण \(x + y + z = 1\) बन जाते हैं, जिसके अनंत हल होते हैं।
– यदि \(k = -2\) हो, तो तीनों समीकरणों को जोड़ने पर \(0 = 3\) प्राप्त होता है, जो कि असंगत (असंभव) है।
अतः \(k = -2\) पर कोई समाधान नहीं होगा।
अतः सही विकल्प (d) है।