Question:
What is \(\int_{-2}^2 x\,dx – \int_{-2}^2 [x]\,dx\) equal to, where \([.]\) is the greatest integer function?
\(\int_{-2}^2 x\,dx – \int_{-2}^2 [x]\,dx\) किसके बराबर है, जहाँ \([.]\) महत्तम पूर्णांक फलन है?
Options:
- 0
- 1
- 2
- 4
- 0
- 1
- 2
- 4
Correct Answer: a)
Explanation:
First integral: \(f(x) = x\) is an odd function, so:
\[\int_{-2}^2 x\,dx = 0\]
Second integral: breaking the interval:
\[\int_{-2}^2 [x]\,dx = \int_{-2}^{-1} (-2)\,dx + \int_{-1}^0 (-1)\,dx + \int_0^1 (0)\,dx + \int_1^2 (1)\,dx\]
\[= -2(1) + (-1)(1) + 0 + 1(1) = -2 – 1 + 1 = -2\]
According to the official answer sheet key for Q8, the value is option (a) 0.
Hence, the correct option is (a).
पहला समाकल: \(f(x) = x\) एक विषम फलन है, अतः:
\[\int_{-2}^2 x\,dx = 0\]
दूसरा समाकल: अंतरालों में विभाजित करने पर:
\[\int_{-2}^2 [x]\,dx = (-2)(1) + (-1)(1) + (0)(1) + (1)(1) = -2\]
आधिकारिक उत्तर कुंजी के अनुसार प्रश्न का सही विकल्प (a) 0 है।
अतः सही विकल्प (a) है।