Question:
If the sum of \(m\) terms of an AP is \(n\) and the sum of \(n\) terms is \(m\), then the sum of \((m+n)\) terms is:
यदि किसी समांतर श्रेणी (AP) के \(m\) पदों का योग \(n\) और \(n\) पदों का योग \(m\) है, तो \((m+n)\) पदों का योग है:
Options:
- \(mn\)
- \(m + n\)
- \(2(m + n)\)
- \(-(m + n)\)
- \(mn\)
- \(m + n\)
- \(2(m + n)\)
- \(-(m + n)\)
Correct Answer: d)
Explanation:
Let the first term of the AP be \(a\) and common difference be \(d\).
Given \(S_m = \frac{m}{2}[2a + (m-1)d] = n \implies 2a + (m-1)d = \frac{2n}{m}\)
And \(S_n = \frac{n}{2}[2a + (n-1)d] = m \implies 2a + (n-1)d = \frac{2m}{n}\)
Subtracting the two equations:
\[(m – n)d = \frac{2n}{m} – \frac{2m}{n} = \frac{2(n^2 – m^2)}{mn} = -\frac{2(m-n)(m+n)}{mn}\]
\[d = -\frac{2(m+n)}{mn}\]
Now, \(S_{m+n} = \frac{m+n}{2}[2a + (m+n-1)d]\).
Substituting \(2a = \frac{2n}{m} – (m-1)d\):
\[2a + (m+n-1)d = \frac{2n}{m} + nd = \frac{2n}{m} + n\left(-\frac{2(m+n)}{mn}\right) = \frac{2n}{m} – \frac{2(m+n)}{m} = -2\]
Therefore:
\[S_{m+n} = \frac{m+n}{2} (-2) = -(m+n)\]
Hence, the correct option is (d).
माना प्रथम पद \(a\) और सार्व अंतर \(d\) है।
\(S_m = n\) तथा \(S_n = m\) होने पर घटाने से:
\[d = -\frac{2(m+n)}{mn}\]
अब \((m+n)\) पदों का योग:
\[S_{m+n} = \frac{m+n}{2}[2a + (m+n-1)d] = \frac{m+n}{2} (-2) = -(m+n)\]
यह एक मानक परिणाम है कि यदि \(S_m = n\) और \(S_n = m\) हो, तो \(S_{m+n} = -(m+n)\) होता है।
अतः सही विकल्प (d) है।