Question:
If the angles of a triangle ABC are in the ratio 1 : 2 : 3, then the corresponding sides are in the ratio:
यदि एक त्रिभुज ABC के कोणों का अनुपात 1 : 2 : 3 है, तो संगत भुजाओं का अनुपात क्या है?
Options:
- 1 : 2 : 3
- 3 : 2 : 1
- \(1 : \sqrt{3} : 2\)
- \(1 : \sqrt{3} : \sqrt{2}\)
- 1 : 2 : 3
- 3 : 2 : 1
- \(1 : \sqrt{3} : 2\)
- \(1 : \sqrt{3} : \sqrt{2}\)
Correct Answer: c)
Explanation:
Let the angles be \(x, 2x, 3x\).
Since the sum of angles in a triangle is \(180^\circ\):
\[x + 2x + 3x = 180^\circ \implies 6x = 180^\circ \implies x = 30^\circ\]
The angles are \(A = 30^\circ\), \(B = 60^\circ\), \(C = 90^\circ\).
By the Sine Rule:
\[a : b : c = \sin A : \sin B : \sin C = \sin 30^\circ : \sin 60^\circ : \sin 90^\circ\]
\[a : b : c = \frac{1}{2} : \frac{\sqrt{3}}{2} : 1 = 1 : \sqrt{3} : 2\]
Hence, the correct option is (c).
माना कोण \(x, 2x, 3x\) हैं।
त्रिभुज के कोणों का योग \(180^\circ\) होता है:
\[6x = 180^\circ \implies x = 30^\circ\]
अतः कोण \(30^\circ, 60^\circ, 90^\circ\) हैं।
ज्या नियम (Sine Rule) से:
\[a : b : c = \sin 30^\circ : \sin 60^\circ : \sin 90^\circ = \frac{1}{2} : \frac{\sqrt{3}}{2} : 1 = 1 : \sqrt{3} : 2\]
अतः सही विकल्प (c) है।