Question:
If the system of equations \(x – ky – z = 0\), \(kx – y – z = 0\) and \(x + y – z = 0\) has a non-zero solution, then the possible values of \(k\) are:
यदि समीकरण निकाय \(x – ky – z = 0\), \(kx – y – z = 0\) और \(x + y – z = 0\) का एक अशून्य हल है, तो \(k\) के संभावित मान हैं:
Options:
- -1, 2
- 1, 2
- 0, 1
- -1, 1
- -1, 2
- 1, 2
- 0, 1
- -1, 1
Correct Answer: d)
Explanation:
A homogeneous system has a non-trivial (non-zero) solution if and only if the determinant of the coefficients is zero:
\[\begin{vmatrix} 1 & -k & -1 \\ k & -1 & -1 \\ 1 & 1 & -1 \end{vmatrix} = 0\]
Subtract row 3 from row 1 and row 2:
\[R_1 \to R_1 – R_3: (0, -k-1, 0)\]
\[R_2 \to R_2 – R_3: (k-1, -2, 0)\]
Expanding along column 3:
\[-1 \begin{vmatrix} 0 & -(k+1) \\ k-1 & -2 \end{vmatrix} = -1 [0 – (-(k+1)(k-1))] = k^2 – 1 = 0 \implies k = \pm 1\]
Thus, the possible values of \(k\) are \(-1, 1\).
Hence, the correct option is (d).
समघाती निकाय का अशून्य हल होने के लिए सारणिक शून्य होना चाहिए:
\[\begin{vmatrix} 1 & -k & -1 \\ k & -1 & -1 \\ 1 & 1 & -1 \end{vmatrix} = 0\]
हल करने पर:
\[k^2 – 1 = 0 \implies k = \pm 1\]
अतः \(k\) के संभावित मान -1 और 1 हैं।
अतः सही विकल्प (d) है।