Question:
What is \(\lim_{x \to 1} \frac{\sqrt{1 – \cos 2(x-1)}}{x – 1}\) equal to?
\(\lim_{x \to 1} \frac{\sqrt{1 – \cos 2(x-1)}}{x – 1}\) किसके बराबर है?
Options:
- Exists and it equals \(\sqrt{2}\)
- Exists and it equals \(-\sqrt{2}\)
- Does not exist because \(x-1 \to 0\)
- Does not exist because left hand limit is not equal to right hand limit
- अस्तित्व में है और यह \(\sqrt{2}\) के बराबर है
- अस्तित्व में है और यह \(-\sqrt{2}\) के बराबर है
- अस्तित्व में नहीं है क्योंकि \(x-1 \to 0\)
- अस्तित्व में नहीं है क्योंकि बायीं सीमा दायीं सीमा के बराबर नहीं है
Correct Answer: d)
Explanation:
Using \(1 – \cos 2\theta = 2\sin^2\theta\):
\[\sqrt{1 – \cos 2(x-1)} = \sqrt{2\sin^2(x-1)} = \sqrt{2}|\sin(x-1)|\]
Let \(h = x – 1\). Then \(h \to 0\):
– Right hand limit (as \(h \to 0^+\)): \(\lim_{h \to 0^+} \frac{\sqrt{2}\sin h}{h} = \sqrt{2}\).
– Left hand limit (as \(h \to 0^-\)): \(\lim_{h \to 0^-} \frac{-\sqrt{2}\sin h}{h} = -\sqrt{2}\).
Since \(\text{RHL} \ne \text{LHL}\), the limit does not exist.
Hence, the correct option is (d).
\(\sqrt{1 – \cos 2(x-1)} = \sqrt{2}|\sin(x-1)|\)।
दायीं सीमा (RHL): \(\sqrt{2}\)।
बायीं सीमा (LHL): \(-\sqrt{2}\)।
चूँकि बायीं सीमा और दायीं सीमा बराबर नहीं हैं, अतः सीमा का अस्तित्व नहीं है।
अतः सही विकल्प (d) है।