Question:
Two numbers, A and B, are in the ratio of \(10 : 13\). If 90 is subtracted from each of them, the resulting numbers are in the ratio of \(7 : 10\). If 57 is added to A and 16 is subtracted from B, then the ratio of the resulting numbers will be:
दो संख्याएँ, A और B, \(10 : 13\) के अनुपात में हैं। यदि उनमें से प्रत्येक में से 90 घटाया जाता है, तो परिणामी संख्याएँ \(7 : 10\) के अनुपात में होती हैं। यदि A में 57 जोड़ा जाता है और B में से 16 घटाया जाता है, तो परिणामी संख्याओं का अनुपात क्या होगा?
Options:
- 19 : 20
- 20 : 21
- 21 : 22
- 22 : 23
- 19 : 20
- 20 : 21
- 21 : 22
- 22 : 23
Correct Answer: c)
Explanation:
Step 1: Find the original numbers A and B:
Let \(A = 10k\) and \(B = 13k\).
When 90 is subtracted from each:
\[ \frac{10k – 90}{13k – 90} = \frac{7}{10} \]
Cross-multiply:
\[ 10(10k – 90) = 7(13k – 90) \]
\[ 100k – 900 = 91k – 630 \]
\[ 9k = 270 \implies k = 30 \]
Thus:
\[ A = 10 \times 30 = 300 \]
\[ B = 13 \times 30 = 390 \]
Step 2: Calculate the modified numbers:
Add 57 to A:
\[ A’ = 300 + 57 = 357 \]
Subtract 16 from B:
\[ B’ = 390 – 16 = 374 \]
Step 3: Find the ratio of the resulting numbers:
\[ \frac{A’}{B’} = \frac{357}{374} \]
Dividing both terms by their greatest common divisor (17):
\[ 357 \div 17 = 21 \]
\[ 374 \div 17 = 22 \]
\[ \text{Ratio} = 21 : 22 \]
Hence, the correct answer is option c).
चरण 1: मूल संख्याएँ A और B ज्ञात करें:
माना \(A = 10k\) और \(B = 13k\)।
प्रत्येक में से 90 घटाने पर:
\[ \frac{10k – 90}{13k – 90} = \frac{7}{10} \]
तिर्यक गुणा करने पर:
\[ 10(10k – 90) = 7(13k – 90) \]
\[ 100k – 900 = 91k – 630 \]
\[ 9k = 270 \implies k = 30 \]
अतः:
\[ A = 10 \times 30 = 300 \]
\[ B = 13 \times 30 = 390 \]
चरण 2: नए मान ज्ञात करें:
A में 57 जोड़ने पर:
\[ A’ = 300 + 57 = 357 \]
B में से 16 घटाने पर:
\[ B’ = 390 – 16 = 374 \]
चरण 3: नया अनुपात ज्ञात करें:
\[ \frac{A’}{B’} = \frac{357}{374} \]
दोनों को 17 से विभाजित करने पर:
\[ 357 \div 17 = 21, \quad 374 \div 17 = 22 \]
\[ \text{अनुपात} = 21 : 22 \]
अतः सही उत्तर विकल्प c) है।