Question:
The area of a rectangular field is \(1008\text{ m}^2\). Its shorter side is \(\frac{1}{8}\) of the sum of its longer side and one of its diagonals. What is the cost of fencing the field at ₹ 24 per m?
एक आयताकार मैदान का क्षेत्रफल \(1008\text{ m}^2\) है। इसकी छोटी भुजा, इसकी बड़ी भुजा और इसके एक विकर्ण के योग का \(\frac{1}{8}\) है। ₹ 24 प्रति m की दर से खेत में बाड़ लगाने की लागत क्या है?
Options:
- ₹ 3,696
- ₹ 3,744
- ₹ 3,792
- ₹ 3,840
- ₹ 3,696
- ₹ 3,744
- ₹ 3,792
- ₹ 3,840
Correct Answer: c)
Explanation:
Step 1: Set up equations for the sides of the rectangle:
Let the longer side be \(l\) and the shorter side be \(b\).
The diagonal is \(d = \sqrt{l^2 + b^2}\).
Given:
\[ b = \frac{1}{8}(l + d) \implies 8b – l = d \]
Squaring both sides:
\[ (8b – l)^2 = d^2 \]
\[ 64b^2 – 16lb + l^2 = l^2 + b^2 \]
\[ 63b^2 = 16lb \implies 63b = 16l \implies \frac{l}{b} = \frac{63}{16} \]
Step 2: Calculate the dimensions \(l\) and \(b\):
Let \(l = 63k\) and \(b = 16k\).
Area = \(l \times b = 1008\text{ m}^2\):
\[ (63k)(16k) = 1008 \]
\[ 1008 k^2 = 1008 \implies k^2 = 1 \implies k = 1 \]
Therefore:
\[ l = 63\text{ m}, \quad b = 16\text{ m} \]
Step 3: Calculate perimeter and fencing cost:
\[ \text{Perimeter} = 2(l + b) = 2(63 + 16) = 2 \times 79 = 158\text{ m} \]
Cost of fencing at ₹ 24 per m:
\[ \text{Total Cost} = 158 \times 24 = ₹ 3,792 \]
Hence, the correct answer is option c).
चरण 1: आयत की भुजाओं के लिए समीकरण बनाएं:
माना बड़ी भुजा \(l\) तथा छोटी भुजा \(b\) है।
विकर्ण \(d = \sqrt{l^2 + b^2}\)।
प्रश्नानुसार:
\[ b = \frac{1}{8}(l + d) \implies 8b – l = d \]
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर:
\[ (8b – l)^2 = l^2 + b^2 \]
\[ 64b^2 – 16lb + l^2 = l^2 + b^2 \]
\[ 63b^2 = 16lb \implies \frac{l}{b} = \frac{63}{16} \]
चरण 2: भुजाओं \(l\) और \(b\) का मान ज्ञात करें:
माना \(l = 63k\) और \(b = 16k\)।
क्षेत्रफल = \(l \times b = 1008\text{ m}^2\):
\[ 63k \times 16k = 1008 \implies 1008 k^2 = 1008 \implies k = 1 \]
अतः \(l = 63\text{ m}\) तथा \(b = 16\text{ m}\)।
चरण 3: परिमाप और बाड़ लगाने की लागत ज्ञात करें:
\[ \text{परिमाप} = 2(l + b) = 2(63 + 16) = 158\text{ m} \]
लागत = ₹ 24 प्रति m:
\[ \text{कुल लागत} = 158 \times 24 = ₹ 3,792 \]
अतः सही उत्तर विकल्प c) है।