Question:
∆XYZ and ∆PQR are similar and XY : PQ = 4 : 1. If the area of ∆PQR is 4 sq cm, what is the area (in sq cm) of ∆XYZ?
∆XYZ और ∆PQR एक समान हैं और XY:PQ=4:1 है। यदि ∆PQR का क्षेेत्रफल 4 वर्ग से.मी. है, तो ∆XYZ का क्षेेत्रफल (वर्ग से.मी. में) क्या है?
Options:
- 16
- 32
- 64
- 28
- 16
- 32
- 64
- 28
Correct Answer: c)
Explanation:
Detailed Explanation:
This problem is based on the theorem regarding the areas of similar triangles.
Step-by-step Solution:
- Theorem: The ratio of the areas of two similar triangles is equal to the square of the ratio of their corresponding sides:$$\frac{\text{Area}(\Delta XYZ)}{\text{Area}(\Delta PQR)} = \left(\frac{XY}{PQ}\right)^2$$
- Given Data:
- $\Delta XYZ \sim \Delta PQR$
- Ratio of corresponding sides: $\frac{XY}{PQ} = \frac{4}{1}$
- $\text{Area}(\Delta PQR) = 4\text{ cm}^2$
- Substitute the values into the formula:$$\frac{\text{Area}(\Delta XYZ)}{4} = \left(\frac{4}{1}\right)^2 = 16$$
- Solve for $\text{Area}(\Delta XYZ)$:$$\text{Area}(\Delta XYZ) = 16 \times 4 = 64\text{ cm}^2$$
Therefore, the area of $\Delta XYZ$ is 64 sq cm. The correct option is c).
विस्तृत व्याख्या:
यह प्रश्न समरूप त्रिभुजों के क्षेत्रफलों से संबंधित प्रमेय पर आधारित है।
चरण-दर-चरण हल:
- प्रमेय: दो समरूप त्रिभुजों के क्षेत्रफलों का अनुपात, उनकी संगत भुजाओं के अनुपात के वर्ग के बराबर होता है:$$\frac{\Delta XYZ \text{ का क्षेत्रफल}}{\Delta PQR \text{ का क्षेत्रफल}} = \left(\frac{XY}{PQ}\right)^2$$
- दिया गया है:
- $\Delta XYZ \sim \Delta PQR$
- संगत भुजाओं का अनुपात: $\frac{XY}{PQ} = \frac{4}{1}$
- $\Delta PQR$ का क्षेत्रफल = $4\text{ वर्ग से.मी.}$
- मान प्रतिस्थापित करने पर:$$\frac{\Delta XYZ \text{ का क्षेत्रफल}}{4} = \left(\frac{4}{1}\right)^2 = 16$$
- $$\Delta XYZ \text{ का क्षेत्रफल} = 16 \times 4 = 64\text{ वर्ग से.मी.}$$
अतः $\Delta XYZ$ का क्षेत्रफल 64 वर्ग से.मी. है। सही विकल्प c) है।