Question:
The total number of possible Boolean functions involving ‘n’ Boolean variables is
‘n’ बूलियन वैरिएबल से जुड़ेे संभावित बूलियन कार्यों की कुल संख्या होगी
Options:
- Infinite
- nn
- n2
- None of these
- अनंत
- nn
- n2
- इनमे से कोई नहींं
Correct Answer: d)
Explanation:
Detailed Explanation:
The correct answer is d) None of these (इनमे से कोई नहींं).
Mathematical Derivation:
- A Boolean function with $n$ Boolean variables has $2^n$ distinct input combinations (representing the $2^n$ rows of its truth table).
- For each input combination, the Boolean function can produce one of $2$ possible output values ($0$ or $1$).
- Therefore, the total number of distinct possible Boolean functions that can be formed using $n$ variables is:$$\text{Total Boolean Functions} = 2^{(2^n)}$$
Examples:
- For $n = 1$: $2^{2^1} = 2^2 = 4$ functions.
- For $n = 2$: $2^{2^2} = 2^4 = 16$ functions (AND, OR, NAND, NOR, XOR, XNOR, constant 0, constant 1, etc.).
- For $n = 3$: $2^{2^3} = 2^8 = 256$ functions.
None of the options ($n^n$, $n^2$, Infinite) match $2^{2^n}$. Hence, None of these is the correct choice.
विस्तृत व्याख्या:
सही उत्तर d) इनमे से कोई नहींं है।
गणितीय व्युत्पत्ति:
- $n$ बूलियन चरों (variables) के लिए सत्यता सारणी (truth table) में कुल इनपुट संयोजनों (rows) की संख्या $2^n$ होती है।
- प्रत्येक इनपुट संयोजन के लिए फ़ंक्शन का आउटपुट $2$ मानों ($0$ या $1$) में से कोई एक हो सकता है।
- अतः $n$ बूलियन चरों से बनने वाले कुल संभावित बूलियन कार्यों (Boolean functions) की संख्या:$$\text{कुल कार्य} = 2^{(2^n)}$$ होती है।
उदाहरण:
- यदि $n = 1$, तो $2^{2^1} = 4$ फ़ंक्शन।
- यदि $n = 2$, तो $2^{2^2} = 16$ फ़ंक्शन।
- यदि $n = 3$, तो $2^{2^3} = 256$ फ़ंक्शन।
चूंकि विकल्पों में $2^{2^n}$ नहीं दिया गया है (विकल्प अनंत, $n^n$, $n^2$ हैं), इसलिए इनमें से कोई नहीं सही उत्तर है।