Question:
A body of mass \(4.9\text{ kg}\) hangs from a spring and oscillates with a period of \(0.6\text{ sec}\). How much will the spring shorten when the body is removed?
\(4.9\text{ kg}\) द्रव्यमान का एक पिंड एक स्प्रिंग से लटका हुआ है और \(0.6\text{ sec}\) के आवर्तकाल से दोलन करता है। पिंड को हटा दिए जाने पर स्प्रिंग कितना छोटा हो जाएगा?
Options:
- 0.809 metre
- 1.089 metre
- 1.009 metre
- 0.089 metre
- 0.809 मीटर
- 1.089 मीटर
- 1.009 मीटर
- 0.089 मीटर
Correct Answer: d)
Explanation:
The oscillation time period of a mass-spring system is given by:
\[ T = 2\pi \sqrt{\frac{m}{k}} \implies \frac{m}{k} = \frac{T^2}{4\pi^2} \]
Under static equilibrium, the extension \(x\) caused by the hanging weight \(mg\) is:
\[ kx = mg \implies x = \frac{mg}{k} = g \left(\frac{m}{k}\right) = \frac{g T^2}{4\pi^2} \]
Substituting \(T = 0.6\text{ s}\) and \(g = 9.8\text{ m/s}^2\):
\[ x = \frac{9.8 \times (0.6)^2}{4 \times \pi^2} = \frac{9.8 \times 0.36}{4 \times 9.87} \approx \frac{3.528}{39.48} \approx 0.08936\text{ m} \approx 0.089\text{ metre} \]
When the body is removed, the spring will shorten by this extension of \(0.089\text{ metre}\).
स्प्रिंग-द्रव्यमान निकाय का आवर्तकाल होता है:
\[ T = 2\pi \sqrt{\frac{m}{k}} \implies \frac{m}{k} = \frac{T^2}{4\pi^2} \]
स्थिर संतुलन की स्थिति में भार \(mg\) के कारण स्प्रिंग का खिंचाव \(x\) होता है:
\[ kx = mg \implies x = \frac{mg}{k} = \frac{g T^2}{4\pi^2} \]
मान रखने पर (\(T = 0.6\text{ s}\) तथा \(g = 9.8\text{ m/s}^2\)):
\[ x = \frac{9.8 \times (0.6)^2}{4\pi^2} \approx 0.089\text{ मीटर} \]
अतः पिंड को हटा देने पर स्प्रिंग \(0.089\text{ मीटर}\) छोटा हो जाएगा।