Question:
Two circles with centers B and D have radii DA = 8 cm and BC = x cm, respectively. AC is tangent to both circles. If DB and AC intersect at the point E, AE = 12 cm and EC = 18 cm, then find the value of x (in cm).
दो वृत्त जिनके केंद्र B और D हैं, उनकी त्रिज्याएँ क्रमशः DA = 8 सेमी और BC = x सेमी हैं। AC दोनों वृत्तों की स्पर्श रेखा है। यदि DB और AC बिंदु E पर प्रतिच्छेद करते हैं, AE = 12 सेमी और EC = 18 सेमी, तो x का मान (सेमी में) ज्ञात कीजिए।
Options:
- a) 12
- b) 11
- c) 10
- d) 13
- a) 12
- b) 11
- c) 10
- d) 13
correct answer : a)
Explanation:
Since AC is tangent to both circles at points A and C respectively, the radii DA and BC are perpendicular to the tangent AC.
Therefore, $\angle DAE = \angle BCE = 90^\circ$.
Also, the vertically opposite angles are equal:
$\angle AED = \angle CEB$.
By AA similarity, $\triangle DAE \sim \triangle BCE$.
Consequently, the ratio of their corresponding sides must be equal:
$\frac{DA}{BC} = \frac{AE}{EC}$
$\implies \frac{8}{x} = \frac{12}{18}$
$\implies \frac{8}{x} = \frac{2}{3}$
$\implies 2x = 24 \implies x = 12$.
Hence, option (a) is the correct answer.
चूंकि AC क्रमशः बिंदु A और C पर दोनों वृत्तों की स्पर्श रेखा है, इसलिए त्रिज्याएँ DA और BC स्पर्श रेखा AC के लंबवत हैं।
इसलिए, $\angle DAE = \angle BCE = 90^\circ$।
साथ ही, शीर्षाभिमुख कोण बराबर हैं:
$\angle AED = \angle CEB$।
AA समरूपता द्वारा, $\triangle DAE \sim \triangle BCE$।
परिणामस्वरूप, उनकी संबंधित भुजाओं का अनुपात बराबर होना चाहिए:
$\frac{DA}{BC} = \frac{AE}{EC}$
$\implies \frac{8}{x} = \frac{12}{18}$
$\implies \frac{8}{x} = \frac{2}{3}$
$\implies 2x = 24 \implies x = 12$।
अतः, विकल्प (a) सही उत्तर है।