Question:
A right circular cone is cut into two parts by a horizontal plane such that the height of the smaller cone is one-third of the total height. What is the ratio of the volume of the smaller cone to the volume of the resulting frustum?
एक लंब वृत्तीय शंकु को एक क्षैतिज तल द्वारा दो भागों में इस प्रकार काटा जाता है कि छोटे शंकु की ऊँचाई कुल ऊँचाई की एक-तिहाई होती है। छोटे शंकु के आयतन का परिणामी छिन्नक (frustum) के आयतन से अनुपात क्या है?
Options:
- a) 1:26
- b) 1:27
- c) 1:9
- d) 1:8
- a) 1:26
- b) 1:27
- c) 1:9
- d) 1:8
correct answer : a)
Explanation:
Let the total height of the cone be H.
The height of the smaller cone is h = H/3. So the ratio of their heights is h / H = 1/3.
Since the smaller cone is similar to the larger cone, the ratio of their volumes is:
v / V = (h / H)^3 = (1 / 3)^3 = 1 / 27.
If volume of smaller cone v = 1 unit, then volume of original cone V = 27 units.
Volume of the frustum = V – v = 27 – 1 = 26 units.
Ratio of volume of smaller cone to volume of frustum = v : (V – v) = 1 : 26.
मान लीजिए शंकु की कुल ऊँचाई H है।
छोटे शंकु की ऊँचाई h = H/3 है। इसलिए उनकी ऊँचाइयों का अनुपात h / H = 1/3 है।
चूंकि छोटा शंकु बड़े शंकु के समरूप है, इसलिए उनके आयतनों का अनुपात है:
v / V = (h / H)^3 = (1 / 3)^3 = 1 / 27.
यदि छोटे शंकु का आयतन v = 1 इकाई है, तो मूल शंकु का आयतन V = 27 इकाई होगा।
छिन्नक (frustum) का आयतन = V – v = 27 – 1 = 26 इकाई।
छोटे शंकु के आयतन का छिन्नक के आयतन से अनुपात = v : (V – v) = 1 : 26.