Question:
Which one of the following is a null set?
निम्नलिखित में से कौन-सा एक रिक्त समुच्चय (null set) है?
Options:
- \(\{x \mid x \in R, 4x^2 – 1 = 0\}\)
- \(\{x \mid x \in N, x \text{ is odd and } (x + 3) \text{ is even}\}\)
- \(\{x \mid x \in R, x^2 < 3\}\)
- \(\{x \mid x \in R, x^2 < 0\}\)
- \(\{x \mid x \in R, 4x^2 – 1 = 0\}\)
- \(\{x \mid x \in N, x \text{ विषम है और } (x + 3) \text{ सम है}\}\)
- \(\{x \mid x \in R, x^2 < 3\}\)
- \(\{x \mid x \in R, x^2 < 0\}\)
Correct Answer: d)
Explanation:
For option (d), \(x^2 < 0\) for \(x \in \mathbb{R}\). Since the square of any real number is always non-negative (\(x^2 \geq 0\)), there exists no real number such that \(x^2 < 0\). Therefore, \(\{x \mid x \in \mathbb{R}, x^2 < 0\} = \emptyset\) is a null set.
विकल्प (d) के लिए, \(x \in \mathbb{R}\) के लिए \(x^2 < 0\) है। चूँकि किसी भी वास्तविक संख्या का वर्ग सदैव अऋणात्मक (\(x^2 \geq 0\)) होता है, अतः ऐसी कोई वास्तविक संख्या नहीं है जिसके लिए \(x^2 < 0\) हो। इसलिए, \(\{x \mid x \in \mathbb{R}, x^2 < 0\} = \emptyset\) एक रिक्त समुच्चय है।