Question:
Suppose A = \(\{x \in R : -8 \leq x \leq 8\}\) and B = \(\{y \in R : 0 \leq y \leq 25\}\) and S be the subset of A × B, defined by S = \(\{(x, y) \in A \times B : x^2 = 4y\}\) which one of the following is correct?
मान लीजिए \(A = \{x \in R : -8 \leq x \leq 8\}\) और \(B = \{y \in R : 0 \leq y \leq 25\}\) हैं, और \(S\), \(A \times B\) का एक उपसमुच्चय है जो \(S = \{(x, y) \in A \times B : x^2 = 4y\}\) द्वारा परिभाषित है। निम्नलिखित में से कौन-सा सही है?
Options:
- S is a many-one function from A into B
- S is a one-one function from A into B
- S is not a function
- f is not a function
- S, A से B में एक बहु-एक (many-one) फलन है
- S, A से B में एक एकैकी (one-one) फलन है
- S एक फलन नहीं है
- f एक फलन नहीं है
Correct Answer: a)
Explanation:
For \(x = -3\) and \(x = 3\) in \(A\), we get \(y = \dfrac{x^2}{4} = \dfrac{9}{4} \in B\). Since two distinct inputs have the same output, \(S\) is many-one.
Also, for \(y = 25 \in B\), \(x^2 = 4(25) = 100 \implies x = \pm 10 \notin A\), so not all elements of \(B\) have pre-images. Thus \(S\) is into.
Therefore, \(S\) is a many-one function from \(A\) into \(B\).
\(A\) में \(x = -3\) और \(x = 3\) के लिए, \(y = \dfrac{x^2}{4} = \dfrac{9}{4} \in B\) प्राप्त होता है। चूँकि दो भिन्न मानों का एक ही प्रतिबिंब है, अतः \(S\) बहु-एक (many-one) है।
साथ ही, \(y = 25 \in B\) के लिए, \(x^2 = 100 \implies x = \pm 10 \notin A\), अतः \(B\) के सभी अवयवों के पूर्व-प्रतिबिंब नहीं हैं (into)।
अतः \(S\), \(A\) से \(B\) में एक बहु-एक फलन है।