Question:
Let \(f(x) = Pe^x + Qe^{2x} + Re^{3x}\), where P, Q and R are real numbers. Further \(f(0) = 6\), \(f'(\ln 3) = 282\) and \(\int_0^{\ln 2} f(x)\,dx = 11\). What is the value of R?
मान लीजिए \(f(x) = Pe^x + Qe^{2x} + Re^{3x}\) है, जहाँ P, Q और R वास्तविक संख्याएँ हैं। यदि \(f(0) = 6\), \(f'(\ln 3) = 282\) और \(\int_0^{\ln 2} f(x)\,dx = 11\) है, तो R का मान क्या है?
Options:
- 1
- 3
- 2
- 4
- 1
- 3
- 2
- 4
Correct Answer: b)
Explanation:
Given \(f(x) = Pe^x + Qe^{2x} + Re^{3x}\).
1. \(f(0) = P + Q + R = 6\)
2. \(f'(\ln 3) = 3P + 18Q + 81R = 282 \implies P + 6Q + 27R = 94\)
3. \(\int_0^{\ln 2} f(x)\,dx = P + \dfrac{3Q}{2} + \dfrac{7R}{3} = 11\)
Solving this system gives \(P = 1, Q = 2, R = 3\).
दिए गए प्रतिबंधों से तीन रैखिक समीकरण प्राप्त होते हैं: \(P+Q+R=6\), \(P+6Q+27R=94\), तथा \(P+1.5Q+\frac{7}{3}R=11\)। इन्हें हल करने पर \(R = 3\) प्राप्त होता है।