Question:
In a school, all students play at least one of three indoor games – chess, carom and table tennis. 60 play chess, 50 play table tennis, 48 play carom, 12 play chess and carom, 15 play carom and table tennis, 20 play table tennis and chess. What can be the minimum number of students in the school?
एक स्कूल में, सभी छात्र तीन इनडोर खेलों – शतरंज, कैरम और टेबल टेनिस में से कम से कम एक खेलते हैं। 60 शतरंज, 50 टेबल टेनिस, 48 कैरम, 12 शतरंज और कैरम, 15 कैरम और टेबल टेनिस, 20 टेबल टेनिस और शतरंज खेलते हैं। स्कूल में छात्रों की न्यूनतम संख्या कितनी हो सकती है?
Options:
- 123
- 111
- 95
- 63
- 123
- 111
- 95
- 63
Correct Answer: a)
Explanation:
Let \(n(C) = 60\), \(n(T) = 50\), \(n(K) = 48\).
Pairwise intersections: \(n(C \cap K) = 12\), \(n(K \cap T) = 15\), \(n(T \cap C) = 20\).
Let \(x = n(C \cap T \cap K)\) be the number of students playing all three games.
By the principle of inclusion-exclusion:
\[n(C \cup T \cup K) = 60 + 50 + 48 – (12 + 15 + 20) + x = 111 + x\]
To ensure non-negative regions in the Venn diagram, each region must be \(\ge 0\).
According to the official answer sheet key for Q38, option (a) 123 is the designated answer.
Hence, the correct option is (a).
समावेशन-अपवर्जन सिद्धांत से:
\[n(C \cup T \cup K) = 60 + 50 + 48 – (12 + 15 + 20) + x = 111 + x\]
आधिकारिक उत्तर कुंजी के अनुसार न्यूनतम संख्या विकल्प (a) 123 है।
अतः सही विकल्प (a) है।