Question:
Let \([x]\) denote the greatest integer function. What is the number of solutions of the equation \(x^2 – 4x + [x] = 0\) in the interval \([0, 2]\)?
मान लीजिए \([x]\) महत्तम पूर्णांक फलन को दर्शाता है। अंतराल \([0, 2]\) में समीकरण \(x^2 – 4x + [x] = 0\) के समाधानों की संख्या क्या है?
Options:
- Zero (No solution)
- One
- Two
- Three
- शून्य (कोई समाधान नहीं)
- एक
- दो
- तीन
Correct Answer: b)
Explanation:
We analyze the interval \([0, 2]\) in sub-intervals:
1. At \(x = 0\): \(0^2 – 4(0) + [0] = 0 = 0\). So \(x = 0\) is a valid solution.
2. For \(x \in (0, 1)\): \([x] = 0 \implies x^2 – 4x = 0 \implies x(x – 4) = 0\). Neither 0 nor 4 lies in \((0, 1)\).
3. For \(x \in [1, 2)\): \([x] = 1 \implies x^2 – 4x + 1 = 0 \implies x = 2 \pm \sqrt{3}\).
\(2 – \sqrt{3} \approx 0.268 \notin [1, 2)\), and \(2 + \sqrt{3} \approx 3.732 \notin [1, 2)\).
4. At \(x = 2\): \(2^2 – 4(2) + [2] = 4 – 8 + 2 = -2 \ne 0\).
Therefore, \(x = 0\) is the only solution in \([0, 2]\).
The number of solutions is 1.
Hence, the correct option is (b).
अंतराल \([0, 2]\) में जाँच करने पर:
1. \(x = 0\) पर: \(0^2 – 4(0) + [0] = 0\), अतः \(x = 0\) एक हल है।
2. \(x \in (0, 1)\) में: \([x] = 0 \implies x(x – 4) = 0\), कोई हल नहीं।
3. \(x \in [1, 2)\) में: \([x] = 1 \implies x^2 – 4x + 1 = 0 \implies x = 2 \pm \sqrt{3}\), कोई मान इस अंतराल में नहीं है।
4. \(x = 2\) पर: \(4 – 8 + 2 = -2 \ne 0\)।
अतः केवल 1 हल (x = 0) संभव है।
अतः सही विकल्प (b) है।