Question:
A regular right pyramid with an equilateral triangular base of side 16 cm is fully immersed in a cylindrical tank of radius 8 cm. Initially, the water level in the tank is 20 cm. After immersion, the water level rises to 22.5 cm. Find the perpendicular height of the pyramid.
16 सेमी भुजा वाले एक समबाहु त्रिभुजाकार आधार वाला एक नियमित लम्ब पिरामिड 8 सेमी त्रिज्या वाले एक बेलनाकार टैंक में पूरी तरह से डुबोया जाता है। प्रारंभ में, टैंक में पानी का स्तर 20 सेमी है। विसर्जन के बाद, पानी का स्तर बढ़कर 22.5 सेमी हो जाता है। पिरामिड की लंबवत ऊँचाई ज्ञात कीजिए।
Options:
- \(\dfrac{5\pi\sqrt{3}}{2}\) cm
- \(\dfrac{6\pi\sqrt{3}}{2}\) cm
- \(\dfrac{7\pi\sqrt{3}}{2}\) cm
- \(\dfrac{9\pi\sqrt{3}}{2}\) cm
- \(\dfrac{5\pi\sqrt{3}}{2}\) सेमी
- \(\dfrac{6\pi\sqrt{3}}{2}\) सेमी
- \(\dfrac{7\pi\sqrt{3}}{2}\) सेमी
- \(\dfrac{9\pi\sqrt{3}}{2}\) सेमी
Correct Answer: a)
Explanation:
Rise in water level = \(22.5 – 20 = 2.5\) cm.
Volume of water displaced = \(\pi r^2 h = \pi \times 8^2 \times 2.5 = 160\pi\text{ cm}^3\).
Volume of pyramid = \(\dfrac{1}{3} \times \text{Base Area} \times H\).
Base Area of equilateral triangle = \(\dfrac{\sqrt{3}}{4} \times 16^2 = 64\sqrt{3}\text{ cm}^2\).
\(\dfrac{1}{3} \times 64\sqrt{3} \times H = 160\pi \implies H = \dfrac{160\pi \times 3}{64\sqrt{3}} = \dfrac{5\pi \times 3}{2\sqrt{3}} = \dfrac{5\pi\sqrt{3}}{2}\) cm.
विस्थापित पानी का आयतन = बेलन में जल स्तर में वृद्धि का आयतन = \(\pi \times 8^2 \times 2.5 = 160\pi\text{ सेमी}^3\)।
पिरामिड का आयतन = \(\dfrac{1}{3} \times \text{आधार का क्षेत्रफल} \times H\)।
आधार का क्षेत्रफल = \(\dfrac{\sqrt{3}}{4} \times 16^2 = 64\sqrt{3}\text{ सेमी}^2\)।
\(\dfrac{64\sqrt{3} H}{3} = 160\pi \implies H = \dfrac{5\pi\sqrt{3}}{2}\) सेमी।