Question:
Let a = √5 + √7 and b = √12 + √3. Which is greater?
माना a = √5 + √7 और b = √12 + √3। कौन सा बड़ा है?
Options:
- a) a = b
- b) a > b
- c) a < b
- d) Cannot be determined
- a) a = b
- b) a > b
- c) a < b
- d) निर्धारित नहीं किया जा सकता
correct answer : c)
Explanation:
Step 1: Square both terms to compare them without radicals.
\( a^2 = (\sqrt{5} + \sqrt{7})^2 = 5 + 7 + 2\sqrt{35} = 12 + 2\sqrt{35} \)
\( b^2 = (\sqrt{12} + \sqrt{3})^2 = 12 + 3 + 2\sqrt{36} = 15 + 2(6) = 27 \)
Step 2: Compare the squared values.
We know \( \sqrt{35} < \sqrt{36} \), so \( \sqrt{35} < 6 \).
Thus, \( 2\sqrt{35} < 12 \).
So, \( a^2 = 12 + 2\sqrt{35} < 12 + 12 = 24 \).
Since \( a^2 < 24 \) and \( b^2 = 27 \), it is clear that \( a^2 < b^2 \).
Therefore, \( a < b \).
चरण 1: दोनों पदों की तुलना करने के लिए उनका वर्ग करें।
\( a^2 = (\sqrt{5} + \sqrt{7})^2 = 5 + 7 + 2\sqrt{35} = 12 + 2\sqrt{35} \)
\( b^2 = (\sqrt{12} + \sqrt{3})^2 = 12 + 3 + 2\sqrt{36} = 15 + 2(6) = 27 \)
चरण 2: वर्ग किए गए मानों की तुलना करें।
हम जानते हैं कि \( \sqrt{35} < \sqrt{36} \), इसलिए \( \sqrt{35} < 6 \)।
इस प्रकार, \( 2\sqrt{35} < 12 \)।
इसलिए, \( a^2 = 12 + 2\sqrt{35} < 12 + 12 = 24 \)।
चूंकि \( a^2 < 24 \) और \( b^2 = 27 \), यह स्पष्ट है कि \( a^2 < b^2 \)।
अतः, \( a < b \)।