Question:
What is the number of triangles that can be formed by choosing the vertices from a set of 12 points in a plane, seven of which lie on the same straight line?
एक समतल में 12 बिंदुओं के समुच्चय से शीर्ष चुनकर बनाए जा सकने वाले त्रिभुजों की संख्या क्या है, जिनमें से सात एक ही सीधी रेखा पर स्थित हैं?
Options:
- 185
- 175
- 115
- 105
- 185
- 175
- 115
- 105
Correct Answer: a)
Explanation:
A triangle is formed by choosing any 3 non-collinear points.
Total number of combinations of 3 points from 12 points:
\[{}^{12}C_3 = \frac{12 \times 11 \times 10}{3 \times 2 \times 1} = 220\]
Since 7 points lie on the same straight line, any 3 points chosen from these 7 cannot form a triangle:
\[{}^7C_3 = \frac{7 \times 6 \times 5}{3 \times 2 \times 1} = 35\]
Total number of triangles:
\[220 – 35 = 185\]
Hence, the correct option is (a).
12 बिंदुओं में से 3 बिंदु चुनने के कुल तरीके: \({}^{12}C_3 = 220\)।
7 संरेखीय बिंदुओं से बनने वाले त्रिभुज (जो संभव नहीं हैं): \({}^7C_3 = 35\)।
बनने वाले त्रिभुजों की वास्तविक संख्या:
\[220 – 35 = 185\]
अतः सही विकल्प (a) है।