Question:
For a square matrix A, which of the following properties hold?
1. \((A^{-1})^{-1} = A\)
2. \(\det(A^{-1}) = \frac{1}{\det A}\)
3. \((\lambda A)^{-1} = \lambda A^{-1}\), where \(\lambda\) is a scalar.
Select the correct answer using the code given below:
एक वर्ग आव्यूह A के लिए, निम्नलिखित में से कौन से गुण मान्य हैं?
1. \((A^{-1})^{-1} = A\)
2. \(\det(A^{-1}) = \frac{1}{\det A}\)
3. \((\lambda A)^{-1} = \lambda A^{-1}\), जहाँ \(\lambda\) एक अदिश है।
नीचे दिए गए कूट का उपयोग करके सही उत्तर चुनें:
Options:
- 1 and 2 only
- 2 and 3 only
- 1 and 3 only
- 1, 2 and 3
- केवल 1 और 2
- केवल 2 और 3
- केवल 1 और 3
- 1, 2 और 3
Correct Answer: a)
Explanation:
Let us check each property:
1. \((A^{-1})^{-1} = A\): This is a standard true property of matrix inversion.
2. \(\det(A^{-1}) = \frac{1}{\det A}\): Since \(\det(A A^{-1}) = \det(I) = 1 \implies \det(A)\det(A^{-1}) = 1\), this is true.
3. \((\lambda A)^{-1} = \frac{1}{\lambda} A^{-1} \ne \lambda A^{-1}\): Statement 3 is false.
Thus, only statements 1 and 2 are correct.
Hence, the correct option is (a).
प्रत्येक कथन की जाँच:
1. \((A^{-1})^{-1} = A\): यह आव्यूह का सत्य गुणधर्म है।
2. \(\det(A^{-1}) = \frac{1}{\det A}\): यह भी पूर्णतः सत्य है।
3. \((\lambda A)^{-1} = \frac{1}{\lambda} A^{-1}\) होता है, न कि \(\lambda A^{-1}\)। अतः कथन 3 असत्य है।
अतः केवल 1 और 2 सही हैं।
अतः सही विकल्प (a) है।