Question:
A right circular cylinder of radius \(r\) and height \(h\) is fitted inside a sphere of diameter \(D\) such that the curved surface of the cylinder touches the sphere. What is the relation between \(h\) and \(r\) in terms of \(D\)?
त्रिज्या \(r\) और ऊंचाई \(h\) वाला एक लंब वृत्तीय बेलन व्यास \(D\) वाले एक गोले के अंदर इस प्रकार फिट किया गया है कि बेलन का वक्र पृष्ठ गोले को स्पर्श करता है। \(D\) के संदर्भ में \(h\) और \(r\) के बीच क्या संबंध है?
Options:
- \(h = \sqrt{D^2 – 4r^2}\)
- \(h = \sqrt{D^2 – r^2}\)
- \(2h = \sqrt{D^2 – 4r^2}\)
- \(h = \sqrt{4D^2 – r^2}\)
- \(h = \sqrt{D^2 – 4r^2}\)
- \(h = \sqrt{D^2 – r^2}\)
- \(2h = \sqrt{D^2 – 4r^2}\)
- \(h = \sqrt{4D^2 – r^2}\)
Correct Answer: a)
Explanation:
The diagonal of the axial cross-section of the cylinder is equal to the sphere’s diameter \(D\).
By Pythagoras theorem: \(h^2 + (2r)^2 = D^2 \implies h^2 + 4r^2 = D^2 \implies h = \sqrt{D^2 – 4r^2}\).
बेलन के अक्षीय परिच्छेद का विकर्ण गोले के व्यास \(D\) के बराबर होता है।
पाइथागोरस प्रमेय से: \(h^2 + (2r)^2 = D^2 \implies h = \sqrt{D^2 – 4r^2}\)।