Question:
A point Q is outside a circle with radius 6 units. A secant line passing through Q and the circle’s center intersects the circle at points M and N, where N is closer to Q. A tangent from Q touches the circle at S, and QS = 12 units. Find the length of segment QN.
एक बिंदु Q, 6 इकाई त्रिज्या वाले वृत्त के बाहर स्थित है। Q और वृत्त के केंद्र से गुजरने वाली एक छेदक रेखा (secant line) वृत्त को बिंदु M और N पर काटती है, जहाँ N, Q के अधिक निकट है। Q से एक स्पर्श रेखा वृत्त को S पर स्पर्श करती है, और QS = 12 इकाई है। रेखाखंड QN की लंबाई ज्ञात कीजिए।
Options:
- 8.13 units
- 7.41 units
- 10 units
- 12 units
- 8.13 इकाई
- 7.41 इकाई
- 10 इकाई
- 12 इकाई
Correct Answer: b)
Explanation:
By the Tangent-Secant Theorem:
\(QS^2 = QN \times QM\).
Since the secant line passes through the center of radius 6, the diameter \(MN = 12\), so \(QM = QN + 12\).
\(12^2 = QN(QN + 12) \implies QN^2 + 12QN – 144 = 0\).
Solving with quadratic formula:
\(QN = \dfrac{-12 + \sqrt{144 + 4(144)}}{2} = \dfrac{-12 + \sqrt{720}}{2} = \dfrac{-12 + 26.8328}{2} \approx 7.416 \approx 7.41\text{ units}\).
स्पर्श-छेदक रेखा प्रमेय से:
\(QS^2 = QN \times QM\)।
व्यास \(MN = 12\), अतः \(QM = QN + 12\)।
\(QN^2 + 12QN – 144 = 0 \implies QN = \dfrac{-12 + \sqrt{720}}{2} \approx 7.41\text{ इकाई}\)।