Question:
In triangle MNO, two medians, MX and NY, intersect each other at Z at right angles. If MX = 24 cm and NY = 10 cm, then find the length of MN (to the nearest integer).
त्रिभुज MNO में, दो माध्यिकाएँ MX और NY बिंदु Z पर समकोण पर एक दूसरे को प्रतिच्छेद करती हैं। यदि MX = 24 सेमी और NY = 10 सेमी है, तो MN की लंबाई (निकटतम पूर्णांक तक) ज्ञात कीजिए।
Options:
- 13 cm
- 15 cm
- 17 cm
- 19 cm
- 13 सेमी
- 15 सेमी
- 17 सेमी
- 19 सेमी
Correct Answer: c)
Explanation:
The centroid Z divides each median in a 2:1 ratio:
\(MZ = \dfrac{2}{3} \times 24 = 16\) cm.
\(NZ = \dfrac{2}{3} \times 10 = \dfrac{20}{3}\) cm.
Since the medians intersect at right angles (\(\angle MZN = 90^\circ\)):
\(MN^2 = MZ^2 + NZ^2 = 16^2 + \left(\dfrac{20}{3}\right)^2 = 256 + \dfrac{400}{9} = \dfrac{2304 + 400}{9} = \dfrac{2704}{9}\).
\(MN = \dfrac{52}{3} \approx 17.33 \approx 17\) cm.
केंद्रक Z प्रत्येक माध्यिका को 2:1 के अनुपात में विभाजित करता है:
\(MZ = \dfrac{2}{3} \times 24 = 16\) सेमी, \(NZ = \dfrac{2}{3} \times 10 = \dfrac{20}{3}\) सेमी।
समकोण त्रिभुज MZN में (पाइथागोरस प्रमेय से):
\(MN = \sqrt{16^2 + (20/3)^2} = \sqrt{2704/9} = \dfrac{52}{3} \approx 17\) सेमी।