Question:
A solid metal sphere is melted and recast into a cylinder, where the radius of the cylinder is three times that of the sphere. If the height of the cylinder is \(h\) and the radius of the sphere is \(r\), what is the ratio of \(h\) to \(r\)?
एक ठोस धातु के गोले को पिघलाकर एक बेलन में ढाला जाता है, जहाँ बेलन की त्रिज्या गोले की त्रिज्या की तीन गुनी है। यदि बेलन की ऊँचाई \(h\) और गोले की त्रिज्या \(r\) है, तो \(h\) और \(r\) का अनुपात क्या है?
Options:
- 1 : 9
- 4 : 27
- 3 : 1
- 2 : 9
- 1 : 9
- 4 : 27
- 3 : 1
- 2 : 9
Correct Answer: b)
Explanation:
Volume of sphere = \(\dfrac{4}{3} \pi r^3\).
Radius of cylinder \(R = 3r\). Volume of cylinder = \(\pi R^2 h = \pi (3r)^2 h = 9 \pi r^2 h\).
Equating volumes: \(\dfrac{4}{3} \pi r^3 = 9 \pi r^2 h \implies \dfrac{4}{3} r = 9 h \implies \dfrac{h}{r} = \dfrac{4}{27}\).
गोले का आयतन = \(\dfrac{4}{3} \pi r^3\)।
बेलन की त्रिज्या \(R = 3r\)। बेलन का आयतन = \(\pi (3r)^2 h = 9 \pi r^2 h\)।
आयतन बराबर करने पर: \(\dfrac{4}{3} \pi r^3 = 9 \pi r^2 h \implies \dfrac{h}{r} = \dfrac{4}{27}\)। अनुपात 4 : 27 है।