Question:
From an external point A, tangents AP and AQ are drawn to a circle with centre O. If ∠APQ = 40°, then find ∠POQ.
एक बाहरी बिंदु A से, केंद्र O वाले एक वृत्त पर स्पर्श रेखाएं AP और AQ खींची जाती हैं। यदि ∠APQ = 40° है, तो ∠POQ ज्ञात कीजिए।
Options:
- a) 60°
- b) 100°
- c) 110°
- d) 80°
- a) 60°
- b) 100°
- c) 110°
- d) 80°
correct answer : d)
Explanation:
1. Since AP and AQ are tangents drawn from the same external point A to the circle, their lengths are equal:
AP = AQ
2. In triangle APQ, since AP = AQ, the angles opposite to these sides are also equal:
∠AQP = ∠APQ = 40°
3. The sum of all interior angles in ΔAPQ is 180°:
∠PAQ + ∠APQ + ∠AQP = 180°
∠PAQ + 40° + 40° = 180°
∠PAQ = 100°
4. In quadrilateral APOQ, the tangents AP and AQ are perpendicular to radii OP and OQ respectively (i.e., ∠APO = ∠AQO = 90°). Therefore, the angle between the tangents (∠PAQ) and the angle subtended by the radii at the centre (∠POQ) are supplementary (sum is 180°):
∠POQ + ∠PAQ = 180°
∠POQ + 100° = 180°
∠POQ = 80°.
Hence, the correct option is d).
1. चूंकि AP और AQ एक ही बाहरी बिंदु A से वृत्त पर खींची गई स्पर्श रेखाएं हैं, इसलिए उनकी लंबाई बराबर होगी:
AP = AQ
2. त्रिभुज APQ में, चूंकि AP = AQ है, इसलिए इन भुजाओं के विपरीत कोण भी बराबर होंगे:
∠AQP = ∠APQ = 40°
3. ΔAPQ के सभी आंतरिक कोणों का योग 180° होता है:
∠PAQ + ∠APQ + ∠AQP = 180°
∠PAQ + 40° + 40° = 180°
∠PAQ = 100°
4. चतुर्भुज APOQ में, स्पर्श रेखाएं AP और AQ क्रमशः त्रिज्या OP और OQ पर लंबवत हैं (यानी, ∠APO = ∠AQO = 90°)। इसलिए, स्पर्श रेखाओं के बीच का कोण (∠PAQ) और केंद्र पर त्रिज्या द्वारा बनाया गया कोण (∠POQ) संपूरक (पूरक) होते हैं (इनका योग 180° होता है):
∠POQ + ∠PAQ = 180°
∠POQ + 100° = 180°
∠POQ = 80°।
अतः, सही विकल्प d) है।