Question:
Solve the problem based on the given figure.
दिए गए चित्र के आधार पर समस्या को हल करें।
Options:
- a)
- b)
- c)
- d)
- a)
- b)
- c)
- d)
correct answer : b)
Explanation:
Given expression to simplify:
\( (1 + \tan^2 A) + (1 + \frac{1}{\tan^2 A}) \)
We know the trigonometric identities:
• \( 1 + \tan^2 A = \sec^2 A \)
• \( 1 + \frac{1}{\tan^2 A} = 1 + \cot^2 A = \csc^2 A \)
Substituting these, we get:
\( \sec^2 A + \csc^2 A = \frac{1}{\cos^2 A} + \frac{1}{\sin^2 A} \)
\( = \frac{\sin^2 A + \cos^2 A}{\sin^2 A \cos^2 A} \)
Since \( \sin^2 A + \cos^2 A = 1 \), this becomes:
\( = \frac{1}{\sin^2 A \cos^2 A} \)
Now let’s check Option B:
\( \frac{1}{\sin^2 A – \sin^4 A} = \frac{1}{\sin^2 A (1 – \sin^2 A)} = \frac{1}{\sin^2 A \cos^2 A} \)
This matches our simplified expression.
Therefore, the correct option is b).
सरल करने के लिए दिया गया व्यंजक:
\( (1 + \tan^2 A) + (1 + \frac{1}{\tan^2 A}) \)
हम त्रिकोणमितीय सर्वसमिकाओं (identities) को जानते हैं:
• \( 1 + \tan^2 A = \sec^2 A \)
• \( 1 + \frac{1}{\tan^2 A} = 1 + \cot^2 A = \csc^2 A \)
इनका मान रखने पर, हमें प्राप्त होता है:
\( \sec^2 A + \csc^2 A = \frac{1}{\cos^2 A} + \frac{1}{\sin^2 A} \)
\( = \frac{\sin^2 A + \cos^2 A}{\sin^2 A \cos^2 A} \)
चूंकि \( \sin^2 A + \cos^2 A = 1 \) होता है, इसलिए यह बन जाएगा:
\( = \frac{1}{\sin^2 A \cos^2 A} \)
अब विकल्प B को देखें:
\( \frac{1}{\sin^2 A – \sin^4 A} = \frac{1}{\sin^2 A (1 – \sin^2 A)} = \frac{1}{\sin^2 A \cos^2 A} \)
यह हमारे सरल किए गए व्यंजक से मेल खाता है।
इसलिए, सही विकल्प b) है।