Question:
The volume of a cube is four times the volume of a cuboid. If the sides of the cuboid are 32 cm, 8 cm and 4 cm, then find the ratio of the total surface area of the cube to that of the cuboid.
एक घन का आयतन एक घनाभ के आयतन का चार गुना है। यदि घनाभ की भुजाएँ 32 सेमी, 8 सेमी और 4 सेमी हैं, तो घन के कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल का घनाभ के कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल से अनुपात ज्ञात कीजिए।
Options:
- a) 24 : 13
- b) 22 : 13
- c) 21 : 13
- d) 23 : 13
- a) 24 : 13
- b) 22 : 13
- c) 21 : 13
- d) 23 : 13
correct answer : a)
Explanation:
1. Volume of the cuboid = $l \times w \times h = 32 \times 8 \times 4 = 1024\text{ cm}^3$.
2. Volume of the cube = $4 \times \text{Volume of cuboid} = 4 \times 1024 = 4096\text{ cm}^3$.
3. Let the side of the cube be $s$.
$s^3 = 4096 \implies s = \sqrt[3]{4096} = 16\text{ cm}$.
4. Total surface area of the cube ($\text{TSA}_{\text{cube}}$) = $6s^2 = 6 \times 16^2 = 6 \times 256 = 1536\text{ cm}^2$.
5. Total surface area of the cuboid ($\text{TSA}_{\text{cuboid}}$) = $2(lw + wh + hl) = 2(32 \times 8 + 8 \times 4 + 4 \times 32)$
$= 2(256 + 32 + 128) = 2(416) = 832\text{ cm}^2$.
6. Ratio = $\frac{\text{TSA}_{\text{cube}}}{\text{TSA}_{\text{cuboid}}} = \frac{1536}{832} = \frac{192}{104} = \frac{24}{13} = 24 : 13$.
Hence, option (a) is the correct answer.
1. घनाभ का आयतन = $l \times w \times h = 32 \times 8 \times 4 = 1024\text{ सेमी}^3$।
2. घन का आयतन = $4 \times \text{घनाभ का आयतन} = 4 \times 1024 = 4096\text{ सेमी}^3$।
3. माना घन की भुजा $s$ है।
$s^3 = 4096 \implies s = \sqrt[3]{4096} = 16\text{ सेमी}$।
4. घन का कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल ($\text{TSA}_{\text{cube}}$) = $6s^2 = 6 \times 16^2 = 6 \times 256 = 1536\text{ सेमी}^2$।
5. घनाभ का कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल ($\text{TSA}_{\text{cuboid}}$) = $2(lw + wh + hl) = 2(32 \times 8 + 8 \times 4 + 4 \times 32)$
$= 2(256 + 32 + 128) = 2(416) = 832\text{ सेमी}^2$।
6. अनुपात = $\frac{\text{TSA}_{\text{cube}}}{\text{TSA}_{\text{cuboid}}} = \frac{1536}{832} = \frac{192}{104} = \frac{24}{13} = 24 : 13$।
अतः, विकल्प (a) सही उत्तर है।