Question:
What is the area enclosed by the parabola, the line and the y-axis in the first quadrant?
पहले चतुर्थांश में परवलय, रेखा और y-अक्ष से घिरा क्षेत्रफल क्या है?
Options:
- 7 Square unit
- 14 Square unit
- 20 Square unit
- 21 Square unit
- 7 वर्ग इकाई
- 14 वर्ग इकाई
- 20 वर्ग इकाई
- 21 वर्ग इकाई
Correct Answer: c)
Explanation:
In the first quadrant, \(x\) ranges from \(x = 0\) (the y-axis) to \(x = 4\) (intersection point):
\[A = \int_0^4 \left(y_{\text{line}} – y_{\text{parabola}}\right) dx = \left[ \frac{3x^2}{4} + 6x – \frac{x^3}{4} \right]_0^4\]
Evaluating from 0 to 4:
\[A = \left(12 + 24 – 16\right) – 0 = 20\text{ square units}\]
Hence, the correct option is (c).
प्रथम चतुर्थांश में \(x = 0\) (y-अक्ष) से \(x = 4\) तक:
\[A = \int_0^4 \left(\frac{3x + 12}{2} – \frac{3x^2}{4}\right) dx = \left[ \frac{3x^2}{4} + 6x – \frac{x^3}{4} \right]_0^4 = 20\text{ वर्ग इकाई}\]
अतः सही विकल्प (c) है।