Question:
What is the sum of the first 12 terms of an arithmetic progression if the 3rd term is -14 and the 6th term is -5?
एक समांतर श्रेेणी के प्रथम 12 पदों का योग क्या है, यदि तीसरा पद -14 है और छठा पद -5 है।
Options:
- -239
- -42
- 164
- 218
- -239
- -42
- 164
- 218
Correct Answer: b)
Explanation:
Detailed Explanation:
This question asks for the sum of the first 12 terms of an Arithmetic Progression (AP).
Step-by-step Solution:
- Let the first term of the AP be $a$ and the common difference be $d$.
- The $n^{\text{th}}$ term formula is:$$T_n = a + (n – 1)d$$
- Given:
- $T_3 = a + 2d = -14$ …(Equation 1)
- $T_6 = a + 5d = -5$ …(Equation 2)
- Subtract Equation 1 from Equation 2:$$ (a + 5d) – (a + 2d) = -5 – (-14)$$$$3d = 9 \implies d = 3$$
- Substitute $d = 3$ into Equation 1:$$a + 2(3) = -14 \implies a + 6 = -14 \implies a = -20$$
- Sum of first $n$ terms formula:$$S_n = \frac{n}{2}[2a + (n – 1)d]$$
- For $n = 12$:$$S_{12} = \frac{12}{2}[2(-20) + (12 – 1)(3)]$$$$S_{12} = 6[-40 + 11(3)] = 6[-40 + 33] = 6(-7) = -42$$
Therefore, the sum of the first 12 terms is -42. The correct option is b).
विस्तृत व्याख्या:
यह प्रश्न समांतर श्रेणी (Arithmetic Progression – AP) के पदों के योग पर आधारित है।
चरण-दर-चरण हल:
- माना समांतर श्रेणी का प्रथम पद $a$ तथा सार्व अंतर $d$ है।
- $n$वें पद का सूत्र:$$T_n = a + (n – 1)d$$
- प्रश्नानुसार:
- तीसरा पद ($T_3$) = $a + 2d = -14$ …(समीकरण 1)
- छठा पद ($T_6$) = $a + 5d = -5$ …(समीकरण 2)
- समीकरण 2 में से समीकरण 1 घटाने पर:$$ (a + 5d) – (a + 2d) = -5 – (-14)$$$$3d = 9 \implies d = 3$$
- $d = 3$ का मान समीकरण 1 में रखने पर:$$a + 2(3) = -14 \implies a + 6 = -14 \implies a = -20$$
- प्रथम $n$ पदों के योग का सूत्र:$$S_n = \frac{n}{2}[2a + (n – 1)d]$$
- $n = 12$ पदों का योग:$$S_{12} = \frac{12}{2}[2(-20) + (12 – 1) \times 3]$$$$S_{12} = 6[-40 + 33] = 6 \times (-7) = -42$$
अतः प्रथम 12 पदों का योग -42 है। सही विकल्प b) है।