Question:
If $\alpha + \beta + \gamma = 0$, then find the value of $\frac{3\beta^2 + \alpha^2 + \gamma^2}{2\beta^2 – \alpha\gamma}$.
यदि $\alpha + \beta + \gamma = 0$ है, तो $\frac{3\beta^2 + \alpha^2 + \gamma^2}{2\beta^2 – \alpha\gamma}$ का मान ज्ञात कीजिए।
Options:
- a) 1/4
- b) 1/2
- c) 1
- d) 2
- a) 1/4
- b) 1/2
- c) 1
- d) 2
correct answer : d)
Explanation:
Given $\alpha + \beta + \gamma = 0$, we can express $\alpha + \gamma = -\beta$.
Squaring both sides:
$(\alpha + \gamma)^2 = (-\beta)^2$
$\implies \alpha^2 + \gamma^2 + 2\alpha\gamma = \beta^2$
$\implies \alpha^2 + \gamma^2 = \beta^2 – 2\alpha\gamma$
Now, substitute this into the numerator of the expression:
$3\beta^2 + \alpha^2 + \gamma^2 = 3\beta^2 + (\beta^2 – 2\alpha\gamma) = 4\beta^2 – 2\alpha\gamma = 2(2\beta^2 – \alpha\gamma)$
Thus, the expression becomes:
$\frac{2(2\beta^2 – \alpha\gamma)}{2\beta^2 – \alpha\gamma} = 2$.
Hence, option (d) is the correct answer.
दिया गया है $\alpha + \beta + \gamma = 0$, हम इसे लिख सकते हैं $\alpha + \gamma = -\beta$।
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर:
$(\alpha + \gamma)^2 = (-\beta)^2$
$\implies \alpha^2 + \gamma^2 + 2\alpha\gamma = \beta^2$
$\implies \alpha^2 + \gamma^2 = \beta^2 – 2\alpha\gamma$
अब, इसे व्यंजक के अंश में प्रतिस्थापित करें:
$3\beta^2 + \alpha^2 + \gamma^2 = 3\beta^2 + (\beta^2 – 2\alpha\gamma) = 4\beta^2 – 2\alpha\gamma = 2(2\beta^2 – \alpha\gamma)$
इस प्रकार, व्यंजक बन जाता है:
$\frac{2(2\beta^2 – \alpha\gamma)}{2\beta^2 – \alpha\gamma} = 2$।
अतः, विकल्प (d) सही उत्तर है।