Question:
The length of the largest possible rod that can be placed in a cubical room is $42\sqrt{3}\text{ m}$. The surface area (in $\text{m}^2$) of the largest possible sphere that fits within the cubical room is: [Use $\pi = \frac{22}{7}$]
एक घनाकार कमरे में रखी जा सकने वाली सबसे बड़ी छड़ की लंबाई $42\sqrt{3}\text{ m}$ है। घनाकार कमरे के भीतर फिट होने वाले सबसे बड़े संभावित गोले का पृष्ठीय क्षेत्रफल ($\text{m}^2$ में) है: [$\pi = \frac{22}{7}$ का उपयोग करें]
Options:
- a) 5544
- b) 2564
- c) 3590
- d) 4589
- a) 5544
- b) 2564
- c) 3590
- d) 4589
correct answer : a)
Explanation:
Let the side of the cubical room be $a$.
The diagonal (longest rod) of the cube is given by $a\sqrt{3}$.
Given diagonal = $42\sqrt{3}\text{ m}$, so:
$a\sqrt{3} = 42\sqrt{3} \implies a = 42\text{ m}$.
The largest sphere that fits inside the cubical room must have a diameter equal to the side of the room $a = 42\text{ m}$.
Therefore, radius of the sphere $r = \frac{42}{2} = 21\text{ m}$.
The surface area of the sphere is:
$\text{SA} = 4\pi r^2 = 4 \times \frac{22}{7} \times 21 \times 21$
$= 4 \times 22 \times 3 \times 21 = 88 \times 63 = 5544\text{ m}^2$.
Hence, option (a) is the correct answer.
माना घनाकार कमरे की भुजा $a$ है।
घन का विकर्ण (सबसे लंबी छड़) $a\sqrt{3}$ द्वारा दिया जाता है।
दिया गया विकर्ण = $42\sqrt{3}\text{ m}$, इसलिए:
$a\sqrt{3} = 42\sqrt{3} \implies a = 42\text{ m}$।
घनाकार कमरे के भीतर फिट होने वाले सबसे बड़े गोले का व्यास कमरे की भुजा $a = 42\text{ m}$ के बराबर होना चाहिए।
इसलिए, गोले की त्रिज्या $r = \frac{42}{2} = 21\text{ m}$।
गोले का पृष्ठीय क्षेत्रफल है:
$\text{SA} = 4\pi r^2 = 4 \times \frac{22}{7} \times 21 \times 21$
$= 4 \times 22 \times 3 \times 21 = 88 \times 63 = 5544\text{ m}^2$।
अतः, विकल्प (a) सही उत्तर है।